Halaman
72Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKMatriksKompetensi Dasar Pengalaman Belajar• Entry matriks• Ordo matriks• Operasi matriks• Determinan matriks • Invers matriks• Identitas• TransposeIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB3Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa mampu:3.3 Menjelaskan matriks dan kesamaan matriks dengan menggunakan masalah kontekstual dan melakukan operasi pada matriks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian, serta transpose.3.4 Menganalisis sifat-sifat determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3.4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan matriks dan operasinya.4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan determinan dan invers matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3.Melalui pembelajaran materi matriks, siswa mem peroleh pengalaman belajar:1. Melatih berpikir kritis dan kreatif.2. Berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikan masalah.3. Berpikir independen mengajukan ide secara bebas dan terbuka.4. Mengamati aturan susunan objek.
73MATEMATIKA B. Diagram AlirSistem Persamaan LinearMateri PrasyaratMasalah AutentikMatriksUnsur-Unsur MatriksJenis MatriksRelasiOperasiMatriks KofaktorEntry BarisEntry Kolom• Kolom• Baris• Persegi Panjang• Persegi• Segitiga• Diagonal• Penjumlahan• Pengurangan• Perkalian• TransposeMatriks AdjointDeterminanKesamaanInvers Matriks
74Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3.1 Membangun Konsep MatriksCoba kamu perhatikan susunan benda-benda di sekitar kamu! Sebagai contoh, susunan buku di meja, susunan buku di lemari, posisi siswa berbaris di lapangan, susunan keramik lantai, dan lain-lain. Gambar 3.1. Susunan keramik/ubin di lantaiTentu kamu dapat melihat susunan tersebut dapat berupa pola baris atau kolom, bukan? Bentuk susunan berupa baris dan kolom akan melahirkan konsep matriks yang akan kita pelajari. Sebagai contoh lainnya adalah susunan angka dalam bentuk tabel. Pada tabel terdapat baris atau kolom, banyak baris atau kolom bergantung pada ukuran tabel tersebut. Ini sudah merupakan gambaran dari sebuah matriks. Agar kamu dapat segera menemukan konsepnya, mari perhatikan beberapa gambaran dan permasalahan berikut ini!Sebagai gambaran awal mengenai matriks, mari cermati uraian berikut.Diketahui harga tiket masuk suatu museum berikut ini. C. Materi Pembelajaran
75MATEMATIKATabel 3.1: Harga KarcisData tersebut, dapat disajikan kembali tanpa harus di dalam tabel seperti berikut: atau Bentuk penulisan tersebut, menunjukkan terdapat 2 baris dan dua kolom.Hari Minggu/Libur (Rp)Hari Biasa (Rp) Anak-anak 5.000 3.000Dewasa 15.000 10.000Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata yang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak antara kota-kota tersebut sebagai berikut. Bandung – Semarang 367 kmSemarang – Yogyakarta 115 kmBandung – Yogyakarta 428 kmDapatkah kamu membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebut jika wisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap angka dalam susunan tersebut.Alternatif Penyelesaian:Wisatawan akan memulai perjalanannya dari Bandung ke kota-kota wisata di Pulau Jawa. Jarak antarkota tujuan wisata dituliskan sebagai berikut.Tabel 3.2: Jarak AntarkotaMasalah 3.1Bandung Semarang YogyakartaBandung 0 367 428Semarang 367 0 115Yogyakarta 428 115 0
76Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan tampilan di atas, dapat dilihat jarak antarkota tujuan wisata dengan membaca data dari baris ke kolom. Susunan tersebut dapat juga dituliskan sebagai berikut. 0367 4283670115428 1150Susunan jarak antarkota di Pulau Jawa ini terdiri dari 3 baris dan 3 kolom.Agar lebih memahami matriks mari lakukan kegiatan berikut ini.1. Bentuklah kelompok yang masing-masing beranggotakan 3-4 orang.2. Wawancaralah setiap anggota kelompok untuk mendapatkan informasi nilai siswa terhadap tiga mata pelajaran yang diminatinya.3. Sajikan data yang diperoleh dalam bentuk tabel seperti di bawah ini.4. Sajikan pula data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan.Kegiatan 3.1Nilai siswaNama Siswa Pelajaran X Pelajaran Y Pelajaran ZSiswa A..... ..... .....Siswa B ..... ..... .....Siswa C ..... ..... .....Definisi 3.1Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.
77MATEMATIKAMatriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan lain-lain. Selain memiliki baris dan kolom, matriks juga memiliki entry yaitu setiap anggota dalam matriks tersebut. Entry suatu matriks dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, ... dan biasanya disesuaikan dengan nama matriksnya.Masalah 3.2Manager supermarket ingin menata koleksi barang yang tersedia. Ubahlah bentuk susunan barang di supermarket di bawah ini menjadi matriks dan tentukan entry-entrynya.Gambar 3.2: Susunan barang pada rak supermarketKOLEKSISusu10 (Item)KOLEKSISabun18 (Item)KOLEKSIMinyakGoreng22 (Item)KOLEKSIRoti danBiskuit20 (Item)KOLEKSISampo danPasta Gigi12 (Item)KOLEKSIBeras danTepung6 (Item)KOLEKSIPermen danCokelat14 (Item)KOLEKSIDetergen8 (Item)KOLEKSIBumbu17 (Item)
78Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian: Gambar di atas mendeskripsikan susunan barang-barang pada rak supermarket yang terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Bentuk matriks dari susunan barang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.Misalkan pada matriks A di atas, entry-entrynya dinyatakan dengan a, dan umumnya entry-entry dari suatu matriks diberi tanda indeks, misalnya aijyang artinya entry dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. Maka koleksi susu yang terdapat pada baris ke-1, kolom ke-1 dapat dinyatakan a11 = 10. Koleksi barang yang terdapat pada baris ke-2, kolom ke-3 adalah koleksi detergen yang dinyatakan pula dengan a23 = 8 dan untuk selanjutnya entry matriks A dapat dinyatakan dengan:• a11 = 10 • a21 = 18 • a31 = 22• a12 = 20 • a22 = 12 • a32 = 6• a13 = 14 • a23 = 8 • a33 = 17Maka entry matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut.1112133 3212223313233aaaA aaaaaa×=10 20 1418 12822617A=Kolom 1Kolom 2Kolom 3Baris 1Baris 2Baris 3
79MATEMATIKASecara induktif, entry matriks di atas dapat dibentuk menjadi:aij: entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m; dan j = 1, 2, 3, ..., n.m × n: menyatakan ordo matriks A dengan m adalah banyak baris dan nbanyak kolom matriks A.Teguh, siswa kelas IX SMA Panca Budi, akan menyusun anggota keluarganya berdasarkan umur dalam bentuk matriks. Dia memiliki Ayah, dan Ibu, berturut-turut berumur 46 tahun dan 43 tahun. Selain itu dia juga memiliki kakak dan adik, secara berurut, Ningrum (22 tahun), Sekar (19 tahun), dan Wahyu (12 tahun). Dia sendiri berumur 14 tahun.Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan dia dalam berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks yang merepresentasikan umur anggota keluarga Teguh sebagai berikut (berdasarkan urutan umur dalam keluarga Teguh). i. Alternatif susunan IT2×3 = 46 43 2219 14 12Matriks T2 × 3adalah matriks persegi panjang dengan berordo 2 × 3. Contoh 3.1111213121222323132333123............nnmnnmmmmnaaaaaaaaA aaaaaa aa×= kolom ke-1kolom ke-2kolom ke-3kolom ke-nbaris ke-1baris ke-2baris ke-3baris ke-m
80Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKii. Alternatif susunan IIT3×2 = 46 4322 1914 12Matriks T3×2adalah matriks persegi panjang berordo 3 × 2.Dapatkah kamu menciptakan susunan matriks, minimal dua cara dengan cara yang berbeda? Kamu perlu memikirkan cara lain yang lebih kreatif!3.2 Jenis-Jenis MatriksContoh 3.1 di atas menyajikan beberapa variasi ordo matriks yang me-representasi kan umur anggota keluarga Teguh. Secara detail, berikut ini akan disajikan jenis-jenis matriks. a. Matriks BarisMatriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut. T1 × 2 = [46 43] , matriks baris berordo 1 × 2 yang me-representasikan umur orang tua Teguh.T1 × 4 = [22 19 14 12] , matriks baris berordo 1 × 4 yang me-representasikan umur Teguh dan saudara-nya.b. Matriks KolomMatriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada matriks tersebut. Perhatikan matriks kolom berikut ini!T3×1 = 432219, matriks kolom berordo 3 × 1 yang merepresentasikan umur semua wanita pada keluarga Teguh.
81MATEMATIKAT5×1 = 4643221912, matriks kolom berordo 5 × 1 yang merepresentasikan umur kedua orang tua Teguh dan ketiga saudaranya.c. Matriks Persegi PanjangMatriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n. T2×3 = 46 43 2219 14 12, matriks persegi panjang berordo 2 × 3 yang merepresentasikan umur anggota keluarga Teguh.T3×2 = 46 4322 1914 12, matriks persegi panjang berordo 3 × 2 yang merepresentasikan umur semua anggota keluarga Teguh.d. Matriks PersegiMatriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo n × n. T2×2 = 46 4322 19,matriks persegi berordo 2 × 2 yang merepresentasikan umur orang tua Teguh dan kedua kakaknya.Tinjaulah matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini.H4×4 = Diagonal utama suatu matrik adalah semua entry matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping matriks adalah semua entry matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri bawah ke sudut kanan atas. 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaaDiagonal Samping matriks HDiagonal Utama matriks H
82Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2 37120 5 84002 600013--e. Matriks SegitigaMari kita perhatikan matriks Fberordo 4 × 4. Terdapat pola susunan pada suatu matriks persegi, misalnya:F = atau jika polanya seperti berikut ini.G = Matriks persegi yang berpola seperti matriks F atau G disebut matriks segitiga. Jadi, matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan entry-entry matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol.f. Matriks DiagonalDengan memperhatikan konsep pada matriks segitiga di atas, jika kita cermati kombinasi pola tersebut pada suatu matriks pesegi, seperti matriks berikut ini:• A = • B = 130005 1 003810 02 425-1005200000003
83MATEMATIKA• C = maka matriks persegi dengan pola “semua entrynya bernilai nol, kecuali entry diagonal utama tidak semua nol” disebut matriks diagonal.g. Matriks IdentitasMari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini.• I2×2 = 1001• I3×3 = 100010001Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika pola tersebut terdapat suatu matriks persegi, yaitu semua entry diagonal utama semua bernilai positif 1, disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I berordo n × n.h. Matriks NolJika entry suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:• O2×2 = 0000, atau • O3×2 = 000000, atau• O1×3 = [0 0 0], maka disebut matriks nol.1200000 60000 04000 00300 0001
84Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3.3 Kesamaan Dua MatriksPerhatikan untuk matriks berikut ini.a. 35 3579 79=b. 23 41957973+=Kedua matriks pada contoh a dan b adalah sama. Entry masing-masing matriks juga sama, bukan? Bagaimana dengan ordo kedua matriks? Dari kedua contoh di atas tampak bahwa entry-entry seletak dari kedua matriks yang berordo sama mempunyai nilai yang sama. Nah bagaimana untuk matriks berikut ini?4958 dan 4598serta400050006 dan 006050400Menurut kamu apakah matriks-matrik di atas sama? Apakah kedua matriks memiliki ordo yang sama? Apakah entry-entry seletak dari kedua matriks mempunyai nilai yang sama? Jika kalian telah memahami kasus di atas maka kita dapat menyatakan kesamaan matriks jika memenuhi sifat berikut ini.Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.ii. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j). Definisi 3.2
85MATEMATIKATentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks Pt = Q, denganP = 2 432247abdac-+ dan Q = 5343 67bac--. Alternatif Penyelesaian: Karena P merupakan matriks berordo 2 × 3, maka Pt merupakan matriks berordo 2 × 3. Matriks Q merupakan matriks berordo 2 × 3. Oleh karena itu berlaku kesamaan matriks Pt = Q.Dengan Pt = 2 452 43 27aabc-+d. Akibatnya, kesamaan Pt = Q dapat ditulis-kan:2 452 43 27aabc-+d = 5343 67bac--Dari kesamaan di atas, kita temukan nilai a, b, c, dan d sebagai berikut.• 3b = 3 maka b = 1, dan 2c = 6 maka c = 3.• 2a – 4 = –4 maka a = 0.• Karena a = 0 maka d = –3.Jadi, a = 0, b = 1, c = 3, dan d = –3.Untuk lebih mendalami kesamaan matrik mari perhatikan contoh berikut.Contoh 3.2
86Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3.4 Operasi pada Matriks3.4.1 Operasi Penjumlahan MatriksMasalah 3.3Toko kue berkonsep waralaba ingin mengembangkan usaha di dua kota yang berbeda. Manajer produksi ingin mendapatkan data biaya yang akan diperlukan. Biaya untuk masing-masing kue seperti pada tabel berikut.Tabel Biaya Toko di Kota A (dalam Rupiah)Tabel Biaya Toko di Kota B (dalam Rp)BrowniesBika AmbonBahan kue 1.000.000 1.200.000Juru masak/Chef 2.000.000 3.000.000BrowniesBika AmbonBahan kue 1.500.000 1.700.000Juru masak/Chef 3.000.000 3.500.000Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?Alternatif Penyelesaian: Jika kita misalkan matriks biaya di Kota A, sebagai matriks A dan matriks biaya di Kota B sebagai matriks B, maka matriks biaya kedua toko disajikan sebagai berikut.A = 1.000.0001.200.0002.000.0003.000.000 dan B = 1.500.0001.700.0003.000.0003.500.000.Total biaya yang dikeluarkan oleh untuk kedua toko kue tersebut dapat diperoleh sebagai berikut. ♦ Total biaya bahan untuk brownies = 1.000.000 + 1.500.000 = 2.500.000♦ Total biaya bahan untuk bika ambon = 1.200.000 + 1.700.000 = 2.900.000
87MATEMATIKA♦ Total biaya chef untuk brownies = 2.000.000 + 3.000.000 = 5.000.000♦ Total biaya chef untuk bika ambon = 3.000.000 + 3.500.000 = 6.500.000Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks adalah sebagai berikut.Total Biaya Untuk Kedua Toko (dalam Rupiah)Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks A dan B.A + B = 1.000.0001.200.0002.000.0003.000.000 + 1.500.0001.700.0003.000.0003.500.000. = 2.500.0002.900.0005.000.0006.500.000Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkan kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan operasi penjumlahan terhadap kedua matriks.Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan dua matriks dalam konteks matematis.BrowniesBika AmbonBahan 2.500.000 2.900.000Chef5.000.000 6.500.000Definisi 3.3 Misalkan A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry aijdan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C = A + B, apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry ditentukan oleh:cij = aij + bij (untuk semua i dan j).
88Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKCatatan: Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama dan ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks adalah sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.Perhatikan contoh-contoh berikut untuk lebih memahami penjumlahan matriks.Contoh 3.3a) Jika P = 10241 35, Q = 228101, maka P + Q = 102224811 3 0 51++++++ = 12 4 12236b) Jika diketahui matriks P = 24175xx-, Q = 22811y, dan P + Q= 12 4 12236. Tentukan nilai x dan y!Jika dimisalkan R = P + Q, maka hasil jumlah matriks P dan Q adalah R = 12 4 12236, sementara P + Q = 2224811751xxy++++ -+ +.Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, maka diperoleh: 2224811751xxy++++ -+ + = 12 4 12236x + 2 = 12 ⇒x = 10x – 7 + y = 3 ⇒ 10 – 7 + y = 3 atau y = 0Maka diperoleh nilai x = 10 dan y = 0.
89MATEMATIKAc) Diketahui matriks T = 631550137. Mari kita tunjukkan bahwa T + O = T dan O + T = T!Matriks O dalam hal ini adalah matriks nol berordo 3 × 3, karena matriks tersebut akan dijumlahkan dengan matriks T berordo 3 × 3 juga.• T + O = 631 000550 000137 000+= 6 0 30 1050500010 30 7 0+++++++++= 631550137 = T• O + T = 000 631000 550000 137+= 0 6 0 3 0105050001 0 3 0 7+++++++++= 631550137 = T3.4.2 Operasi Pengurangan MatriksSebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh masalah berikut ini.
90Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKAlternatif Penyelesaian: Misalkan: Harga perolehan merupakan matriks A = 25.000.00065.000.00048.000.000Penyusutan tahun pertama merupakan matriks B = 2.500.0006.500.0004.800.000Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah A – B = 25.000.00065.000.00048.000.000 - 2.500.0006.500.0004.800.000 = 22.500.00058.500.00043.500.000Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks A dengan matriks B. Masalah 3.4Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dari harga perolehan sebagai berikut:Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!Jenis AktivaHarga Perolehan (Rp)Penyusutan Tahun I (Rp)Harga Baku (Rp)Mesin A25.000.000 2.500.000 Mesin B 65.000.000 6.500.000 Mesin C 48.000.000 4.800.000
91MATEMATIKAMisalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks Bdidefinisikan sebagai jumlah antara matriks Adengan matriks –B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis:A – B = A + (–B).Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanan dengan setiap entry yang bersesuaian matriks B. Contoh 3.4Mari kita cermati contoh berikut ini.a). Jika K = 235-dan L = 975, makaK – L = K + (–L) = 29113745 50--- +- = - - . b). Diketahui matriks-matriks X, Y dan Z sebagai berikut.X = 13579 11, Y = 246810 12, dan Z = 235711 1317 19 23Jika ada, tentukan pengurangan-pengurangan matriks berikut ini.i) Y – X ii) Y – Z iii) X – ZAlternatif Penyelesaian: Matriks X dan Y memiliki ordo yang sama, yaitu berordo 3 × 2, sedangkan matriks Z berordo 3 × 3. Oleh karena itu, menurut aturan pengurangan dua matriks, hanya bagian i) saja yang dapat ditentukan, ii) dan iii) tidak dapat dioperasikan, (kenapa)?Jadi, Y – X = 2 41 3116 85 71110 129111 1-- +- - = -- .
92Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDari pemahaman contoh di atas, pengurangan dua matriks dapat juga dilakukan dengan mengurangkan langsung entry-entry yang seletak dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu: A – B = [aij] – [bij].3.4.3 Operasi Perkalian Skalar pada MatriksDalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (–B), (–B) dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua entry matriks B. Artinya, matriks (–B) dapat kita tulis sebagai:–B = k.B, dengan k = –1Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan A adalah suatu matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real kterhadap matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m × n dengan entry-entrynya ditentukan oleh:cij= k.aij (untuk semua i dan j).Contoh 3.5a) Jika H = 234512, maka 2.H = 22 234 62 4 2 58 1021 2 22 4×× × ×= ×× b) Jika L = 12 3015024183312--, maka 13L = ( )( )11 112301533 3111024183331113312333×× ××× ×× ×- ×- = 4 10508 61 14--
93MATEMATIKAc) Jika M = 12 24 3648 60 72111 33312243612243613444 444111 33344486072486072444 444369918 2712 24 3612 15 1836 45 5448 60 72MMM××× ×××+=+××× ×××=+==Selanjutnya, untuk M suatu matriks berordo m × n, p dan q bilangan real, tunjukkan bahwa (p + q)M = p.M + q.M.Silakan diskusikan!d) Diketahui matriks P = 2357 dan Q = 568 10. Jika c = –1, makac.(P – Q) = –1. 23 5 65 78 10 - = –1.3333---- = 3333.Di sisi lain, jika matriks P dan Q merupakan dua matriks berordo sama, dan c adalah bilangan real, maka c.(P – Q) = c.P – c.Q. Tentunya hasil c.(P – Q) sama dengan c.P – c.Q. (Tunjukkan!)e) Dengan menggunakan matriks L = 12 30 10024 186816, p = 2, dan q = 12,Kita dapat memahami bahwa:q.L = 12 30 106 15 5024 180 12 96816348.Jika kita mengalikan hasil p dengan q.L, maka kita akan peroleh:p.(q.L) = 2.6 15 512 30 100 12 9024 183486816=.
94Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKarena p dan q adalah skalar, ternyata dengan mengalikan p dengan qterlebih dahulu, kemudian mengalikannya dengan matriks L, merupakan langkah lebih efektif untuk menyelesaikan p.(q.L). Sekarang, untuk matriks M berordo m × n, p dan q adalah skalar anggota himpunan bilangan real, tolong kamu tunjukkan bahwa: p × (q × L) = (p × q) × L.3.4.4 Operasi Perkalian Dua MatriksMasalah 3.5Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone, komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan sebagai berikut.Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang.Handphone(unit)Komputer (unit)Sepeda Motor (unit)Cabang 1 7 8 3Cabang 2 5 6 2Cabang 3 4 5 2Harga Handphone(juta)Harga Komputer (juta)Harga Sepeda Motor (juta)2515
95MATEMATIKAAlternatif Penyelesaian: Tidaklah sulit menyelesaikan persoalan di atas. Tentunya kamu dapat men jawabnya. Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep matriks. Kita misalkan matriks C3×3 = 783562452 yang merepresentasikan jumlah unit setiap peralatan yang dibutuhkan di setiap cabang dan matriks D3×1 = 2515yang merepresentasikan harga per unit setiap peralatan. Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang, kita peroleh sebagai berikut.• Cabang 1Total biaya = (7 unit handphone × 2 juta) + (8 unit komputer × 5 juta) + (3 unit sepeda motor 15 juta). = Rp99.000.000,00• Cabang 2Total biaya = (5 unit handphone × 2 juta) + (6 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta)= Rp70.000.000,00• Cabang 3Total biaya = (4 unit handphone × 2 juta) + (5 unit komputer × 5 juta) + (2 unit sepeda motor × 15 juta)= Rp63.000.000,00Jadi total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks berikut.E3×1 = 99.000.000, 0070.000.000, 0063.000.000, 00RpRpRp.
96Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap entry baris pada matriks C berkorespondensi satu-satu dengan setiap entry kolom pada matriks D. Seandainya terdapat satu saja entry baris ke-1 pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan entry kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D. Banyak perkalian akan berhenti jika setiap entry baris ke-n pada matriks C sudah dikalikan dengan setiap entry kolom ke-n pada matriks D. Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut. Misalkan matriks Am×n dan matriks Bn×p, matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom matriks B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B berordo n × p adalah suatu matriks berordo m × p. Proses menentukan entry-entry hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.111213121222323132333123............nnmnnmmmmnaaaaaaaaA aaaaaa aa×= , dan 111213121222323132333123............pppnpnnnnpbbbbbbbbbbbbBbb bb×=Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Am×nterhadap matriks Bn×p dan dinotasikan C = A.B, maka • Matriks C berordo m × p.• Entry-entry matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan cij, diperoleh dengan cara mengalikan entry baris ke-i dari matriks A terhadap entry kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.a3j + . . . + ain.bnjMari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan konsep di atas!
97MATEMATIKAContoh 3.6a) Diketahui matriks A3×3 = 111213212223313233aaaaaaaaa dan B3×3 = 111213212223313233bbbbbbbbb, Matriks hasil perkalian matriks A dan matriks B: A.B = 111213212223313233aaaaaaaaa × 111213212223313233bbbbbbbbb= 11111221133111. 121222133211131223133321112221233121122222233221132223233331113221333131123222333231133223.... . ........ . ...... .. . ..ab ab ab ab ab ab ab ab abab ab ab ab ab ab ab ab abab ab ab ab ab ab ab ab++++++++++++++++++3333.abSekarang, tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks? Berikan alasanmu!b) Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 122343412056×. Dengan menggunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:122343412056× = 1.2 2.1 1.3 2.2 1.4 2.03.2 4.1 3.3 4.2 3.4 4.05.2 6.1 5.3 6.2 5.4 6.0+++++++++ = 47 410 17 1216 27 20Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a), silakan periksa apakah matriks 234120 dapat dikalikan terhadap matriks 123456? Berikan penjelasanmu!
98Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3.4.1 Tranpose MatriksMisalkan ada perubahan pada posisi entry-entry matriks seperti entry baris ke-1 pada matriks B menjadi entry kolom ke-1 pada matriks Bt, setiap entry baris ke-2 pada matriks menjadi entry kolom ke-2 pada matriks Bt, demikian seterusnya, hingga semua entry baris pada matriks B menjadi entry kolom pada matriks Bt. Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpose matriks suatu matriks.Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks Am×nadalah Atm×n.Contoh 3.7a) Jika A = 15530 25, maka At = 15 30525b) Jika S = 10 20 1418 12822617, maka transpose matriks S, adalah St = 10 18 2220 12614817. c) Jika C = 105314 942258637 12 4, maka Ct = 1 14 230957548 123264.Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya, jika matriks awal berordo m × n, maka transpose matriks berordo n × m.
99MATEMATIKA1. Diberikan matriks A = 812 141816822617.Sebutkan entry matriks yang terletak pada:a. baris ke-2;b. kolom ke-3;c. baris ke-3 dan kolom ke-1;d. baris ke-1 dan kolom ke-3.2. Berikan sistem persamaan linear berikut: a. 3x + 4y – 3z = 12 b. –4 = 6x + 13y–2x + 7y – 6z = 9 –5 = 15x + 2y5x + 8y – z = –10 d. 5x = 15c. –3 = 9x + 6y – 7z –y – 4 = 6–5 = 12x + 4y – 8zy = 0Nyatakanlah:i. matriks koefisien sistem persamaan linear tersebut;ii. ordo matriks yang terbentuk.3. Buatlah matriks yang terdiri atas 5 baris dan 3 kolom dengan entrynya adalah 15 bilangan prima yang pertama. Coba kamu pikirkan.• Mungkinkah suatu matriks sama dengan transpose matriksnya sendiri? Berikan alasanmu!• Periksa apakah (At + Bt) = (A + B)t untuk setiap matriks A dan B berordo m × n?Uji Kompetensi 3.1
100Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK4. Untuk matriks-matriks berikut tentukan pasangan-pasangan matriks yang sama.21203,0 2,,12434tab cpqrABCDdefstu ==== 5. Misalkan matriks A = 2235p+ dan B = 663pq+. Bila 3A = B, tentukan nilai p dan q!6. Diketahui 16232414 12pq qrsr p s-+ = +- . Tentukan nilai p, q, r, dan s.7. Jika diketahui matriks 2235p+ + 663pq+ = 4895, tentukan nilaip dan q!8. Diketahui matriks-matriks A = [2 3 5], B = 246, C = 2 103 21--, D = 235412t, dan F = [2 4 6]t.Dari semua matriks di atas, pasangan matriks manakah yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Kemudian selesaikanlah!9. Jika A = 323246, B = 3 574 10 9-, dan X suatu matriks berordo 2 × 3 serta memenuhi persamaan A + X = B, tentukan matriks X!10. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut!a) 2314 1505-- -⋅
101MATEMATIKAb) 142 6608 8 102-⋅⋅c) 30 2 100421 0100 1 2 001-⋅-d) 100 123010 356001 132⋅11. Diketahui matriks G = 123246 dan lima matriks yang dapat dipilih untuk dikalikan terhadap matriks G, yaitu:H = [1 0 1], I = 10032450 1 0,0,4420011JK == , dan L = Gt.Matriks yang manakah dapat dikalikan terhadap matriks G? Kemudian tentukan hasilnya!12. Diketahui transpose matriks A = 246791112 14 16. Tentukanlah:a. matriks Ab. nilai x dan y jika x = a23 + 4a33 – 6 dan y = a232 + 4a332.13. Diketahui matriks-matriks T = 32223aabbc d ce de f--++--23 dan R = 84 02 101-.a) Tentukan transpose dari matriks T!b) Jika Rt = T, tentukanlah nilai a, b, c, d, e, dan f !
102Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK14. Diketahui matriks-matriks berikut.KxyzaLxyzaM=++−+=+=212234213126202,,. JikaMLK−=23, tentukan nilai-nilai x, y, z dan α. 15. Diketahui matriksAabcdef= dan matriks Xrstuvw=. Syarat apakah yang harus dipenuhi supaya matriks A sama dengan matriks X? Jelaskan.
103MATEMATIKASoal ProyekTemukan contoh penerapan matriks dalam Ilmu Komputer, bidang Ilmu Fisika, Kimia, dan Teknologi Farmasi. Selanjutnya coba terapkan berbagai konsep dan aturan matriks dalam menyusun buku teks di sebuah perpustakaan. Pikirkan bagaimana susunan buku teks, seperti: buku Matematika, Fisika, Biologi, Kimia, dan IPS dari berbagai jenisnya (misalnya jenis buku Matematika tersedia buku Aljabar, Geometri, Statistika, dan lain-lain) tampak pada susunan baris dan kolom suatu matriks. Kamu dapat membuat pengkodean dari buku-buku tersebut agar para pembaca dan yang mencari buku tertentu mudah untuk menemukannya. Masalah 3.6Siti dan teman-temannya makan di kantin sekolah. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni dan teman-temannya datang memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya.Alternatif Penyelesaian: Cara IPetunjuk: Ingat kembali materi sistem persamaan linear yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks.Misalkan x = harga ayam penyet per porsiy = harga es jeruk per gelasBuat laporan hasil kerja kelompokmu dan hasilnya disajikan di depan kelas. 3.5 Determinan dan Invers Matriks3.5.1 Determinan Matriks
104Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSistem persamaan linearnya: 3x + 2y = 70.000 5x + 3y = 115.000Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut.3 270.0005 3115.000xy = (3.1)Mengingat kembali bentuk umum persamaan linear.1 1 11112 2 2222ax by ca bcxax by ca bcy+= → ⋅= += Solusi persamaan tersebut adalah: x = 2 1121 221b c bcab a b⋅-⋅-⋅ dan y = 12 211 221ac a cab a b⋅-⋅⋅-⋅, a1.b2≠a2.b1 (3.2)Ingat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesain SPLDV. Tentunya kamu mampu menunjukkannya.Cara IIDalam konsep matriks, nilai (a1.b2 – a2.b1) disebut sebagai determinan matriks 1122abab, dinotasikan abab1122 atau det A, dengan matriks 1122abab = A. Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (3.2), dapat ditulis menjadi:x = 11221122cbcbabab dan y = 11221122acacabab (3.3)dengan 1122abab≠ 0.
105MATEMATIKAKembali ke persamaan (3.1), dengan menerapkan persamaan (3.3), maka diperoleh:x = 70.0002115.000 3210.000 230.00020.000329 10153--==-- = 20.000y = 370.0005 115.000345.000 350.0005.000329 10153--==-- = 5.000Jadi, harga ayam penyet satu porsi adalah Rp20.000,00 dan harga es jeruk satu gelas adalah Rp5.000,00.Notasi DeterminanMisalkan matriks A = abcd. Determinan dari matriks A dapat dinyatakan det A = |A| = abcd = ad – bc3.5.2 Sifat-Sifat DeterminanMisalkan matriks A = 3421-- dan matriks B = 3421----. det A = |A| = 3421-- = –3 + 8 = 5det B = |B| = 3421---- = 3 – 8 = –5Jadi |A| × |B| = –25
106Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDiketahui matriks A = 4526dan matriks B = 1234. Tunjukkan bahwa |A.B| = |A|.|B|!Alternatif Penyelesaian: Sebelum kita menentukan determinan A.B, mari kita tentukan terlebih dahulu matriks A.B, yaitu:A.B = 4 51 219 282 63 420 28 ⋅= .Dengan matriks A.B tersebut kita peroleh |A.B| = 19 2820 28 = –28.Sekarang akan kita bandingkan dengan nilai |A|.|B|.Dengan matriks A = 4526maka |A| = 14, dan B = 1234 maka |B| = –2.Nilai |A|.|B| = 14.(–2) = –28Jadi, benar bahwa |A.B| = |A|.|B| = –28.Sifat 3.1Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det B = |B|, maka |AB|= |A|.|B|Contoh 3.8Matriks A × B = 3421--3421---- = 171689--Dengan demikian det (A × B) = |AB| = 171689-- = –153 + 128 = –25
107MATEMATIKAMatriks P ordo 2 × 2 dengan P = abcd dimana a, b, c, d ∈ R. Jika determinanP adalah a, dengan a∈ R, tentukanlah determinan dari matriks Q = abxc sa xd sb-- dengan x, y ∈ R.Alternatif Penyelesaian: Jika Pabcd=, dan determinannya adalah α, maka berlaku abcdadbc=−=α. Entry matriks Qmemiliki hubungan dengan matriks P, yaitu: q21= hasil kali skalar xterhadap p21- hasil kali skalar s terhadap p11q22= hasil kali skalar x terhadap p22 - hasil kali skalar s terhadap p12.Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks Q menjadi kelipatan matriks P. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:Qabxcsaxdsbbarisbaris=−−→→12Contoh 3.9Soal Tantangan• Selidiki apakah |A.B.C| = |A|.|B|.|C| untuk setiap matriks-matriks A, B, dan C berordo n × n.• Jika matriks A adalah matriks persegi dan k adalah skalar, coba telusuri nilai determinan matriks k.A.
108Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSoal TantanganMisal matriks P adalah matriks berordo 3 × 3, dengan |P| = a dan matriks Q berordo 3 × 3 dan mengikuti pola seperti contoh di atas. Tentukan determinan matriks Q.Entry baris 1 matriks Q = entry baris 1 matriks P. Mereduksi dalam hal ini adalah mengoperasikan entry baris 2 matriks Qmenjadi entry baris 2 matriks P.Jadi, q21 dapat dioperasikan menjadi:qsqq211121()=+*., akibatnya kita peroleh:Qabxcsasaxdsbsb=−+−+Qabcxdxbarisbaris=→→12**Menurut sifat determinan matriks (silakan minta penjelasan lebih lanjut dari Guru Matematika), maka:Qabcxdxadxbcxxadbcx==−=−()=.....α Jadi Qx=α. Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat kembali menentukan transpose sebuah matriks yang sudah dipelajari,Matriks A = 3421-- dan matriks transpose dari matriks A adalah At = 3241--.det At= |At| = 3241-- = –3 + 8 = 5
109MATEMATIKAPerhatikan dari hasil perhitungan det A dan det At. Diperoleh det A = det At.Sifat 3.2Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det At = |At|, maka |A| = |At|Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks.Sifat 3.3Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan det A–1 = |A–1|, maka |A–1| = 1A-Masalah 3.7Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel berikut.Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A seperti pada tabel berikut. Berapa banyak pesawat yang harus dipersiapkan untuk perjalanan tersebut?Kategori Airbus 100 Airbus 200 Airbus 300Kelas Turis 50 75 40Kelas Ekonomi 30 45 25Kelas VIP32 50 30Kategori Jumlah PenumpangKelas Turis 305Kelas Ekonomi 185Kelas VIP206
110Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK– – –+ + +– – –+ + +Alternatif Penyelesaian: Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan:x = banyaknya pesawat Airbus 100 y = banyaknya pesawat Airbus 200 z = banyaknya pesawat Airbus 300 Sistem persamaan yang terbentuk adalah:50754030550 75 4030530452518530 45 2518532503020632 50 30206xyzxxyzyxyzz++= ++= ↔⋅= ++= Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita periksa apakah matriks A adalah matriks nonsingular. Ada beberapa cara untuk menentukan det A, antara lain Metode Sarrus. Cara tersebut sebagai berikut.Misalnya matriks A3×3 = 111213212223313233aaaaaaaaa, maka deteminan A adalah:111213111213111221222321222321223132333132333132aaa aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaa= = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11– a33.a21.a12Untuk matriks pada Masalah 3.7,50 75 4050 75 40 50 7530 45 2530 45 25 30 4532 50 3032 50 30 32 50== (50 × 45 × 30) + (75 × 25 × 32) + (40 × 30 × 50) – (32 × 45 × 40) – (50 × 25 × 50) – (30 × 30 × 75)= –100.
111MATEMATIKAAnalog dengan persamaan (2), kita akan menggunakan determinan matriks untuk menyelesaikan persoalan di atas.x = 305 75 40185 45 25206 50 3030050 75 4010030 45 2532 50 30-=- = 3 y = 50 305 4030 185 2532 206 3010050 75 4010030 45 2532 50 30-=-= 1z = 50 75 30530 45 18532 50 20620050 75 4010030 45 2532 50 30-=- = 2Oleh karena itu, banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit, banyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, banyak pesawat Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.3.5.3 Invers MatriksPerhatikan Masalah 3.7 di atas. Kamu dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan cara berikut. Perhatikan sistem persamaan linear yang dinyatakan dalam matriks berikut,3253xy ⋅ = 70.000115.000↔A.X = B ↔ X = A–1.BKarena A adalah matriks nonsingular, maka matriks A memiliki invers. Oleh karena itu, langkah kita lanjutkan menentukan matriks X.X = 3270.00013253115.00053-⋅-
112Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKX = 20.00020.00015.0005.0001xy- =⋅= -- Diperoleh 20.0005.000xy = ↔x = 20.000 dan y = 5.000.Ditemukan jawaban yang sama dengan cara I. Akan tetapi, perlu pertimbangan pemilihan cara yang digunakan menyelesaikan persoalannya. Misalkan A dan B adalah matriks yang memenuhi persamaan berikut.A.X = B (1)Persoalannya adalah bagaimana menentukan matriks X pada persamaan (1)?Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks. Misalkan A matriks persegi berordo 2 × 2. A = abcd. Invers matriks A, dinotasikanA–1:A–1 = 1( ..)dbcaad bc-⋅--, dengan a.d ≠ b.c.dbca-- disebut adjoin matriks A dan dinotasikan AdjoinA.Salah satu sifat invers matriks adalah A–1.A = A.A–1 = I.Akibatnya persamaan (1) dapat dimodifikasi menjadi:A–1.A.X = A–1B. (semua ruas dikalikan A–1).(A–1.A).X = A–1BI.X = A–1BX = A–1B (karena I.X = X) (2)Rumusan ini berlaku secara umum, dengan syarat det A≠ 0.
113MATEMATIKAMisalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N• Matriks A disebut matriks nonsingular, apabila det A ≠0. • Matriks A disebut matriks singular apabila det A ≠0.• A–1 disebut invers matriks A jika dan hanya jika AA–1 = A–1A = I. I adalah matriks identitas perkalian matriks.Definisi 3.4Masalah 3.8Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba, yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap tempat wisata, dan makan di Singgalang Restaurant. Paket perjalanan yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat wisata, dan 5 kali makan dengan biaya Rp2.030.000,00. Paket II dengan 3 malam menginap, 4 tempat wisata, dan 7 kali makan dengan biaya Rp1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata, dan 4 kali makan dengan biaya Rp2.500.000,00. Berapakah biaya sewa hotel tiap malam, transportasi, dan makan? Alternatif Penyelesaian: Misalkan:x = biaya sewa hotely = biaya untuk transportasiz = biaya makanPaket 1Paket 2Paket 3Sewa hotel435Transportasi345Makan574Biaya total2.030.0001.790.0002.500.000
114Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDalam bentuk matriks adalah seperti berikut:4 3 52.030.00003 4 71.790.0005 5 42.500.000xyz = a. Determinan untuk matriks masalah 3.8 di atas: A = 435347554 maka det A = 435433473455455= (4 × 4 × 4) + (3 × 7 × 5) + (5 × 3 × 5) – (5 × 4 × 5) – (4 × 7 × 5) – (3 × 3 × 4)= –32x = 2.030.000 3 51.790.000 4 72.500.000 5 412.800.00043532347554= -- = 400.000y = 4 2.030.000 53 1.790.000 75 2.500.000 41.920.00043532347554= -- = 60.000z = 4 3 2.030.0003 4 1.790.0005 5 2.500.0001.600.00043532347554= -- = 50.000
115MATEMATIKAOleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp400.000,00 biaya transportasi adalah Rp60.000,00 dan biaya makan adalah Rp50.000,00.Cobalah kamu menyelesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu.Metode KofaktorTerlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah determinan matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan entry-entry pada baris ke-idan kolom ke-j.Jika A adalah sebuah matriks persegi berordo n × n, maka minor entry aij yang dinotasikan dengan Mij, didefinisikan sebagai determinan dari submatriks A berorde (n – 1) × (n – 1) setelah baris ke-idan kolom ke-jdihilangkan. Misalkan matriks A = 111213212223313233aaaaaaaaaMinor entry a11 adalah determinan sehingga M11 = 22233233aaaaM11, M12, dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A. Kofaktor suatu entry baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan:kij = (–1)i+j |Mij| = (–1)ij det(Mij)k11 = (–1)1+14754 = –19 k13 = (–1)1+33455 = -5k12 = (–1)1+23754 = 23k21 = (–1)2+13554 = 13 k23 = (–1)2+34355 = -5111213212223313233aaaaaaaaa
116Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKk22 = (–1)2+24554 = -9k31 = (–1)3+13547 = 1 k33 = (–1)3+34334 = 7k32 = (–1)3+24537 = -13Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A dengan menggunakan rumus:K(A) = 222312131213323332332223212311131113313331332123212211121112313231322122aa aa aaaa aa aaaaaa aaaa aa aaaaaaaaaa aaaa+-+-+-+-+ = 1923513951137-----Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan Adj(A) = (kij)t, yaitu:adj(A) = 11121321222331323319 131239185 57kkkkkkkkk-= ----
117MATEMATIKADari masalah 2.10 di atas, diperoleh invers matriks A. Dengan rumus: A–1 = 1()detadj AASehingga: A–1 = 1()detadj AA = -132191313232322391332323255732323219 131239135 57------- =--Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA–1 = A–1A = I, dengan I adalah matriks identitas 3 × 3.Bentuk matriks permasalahan 3.8 adalah seperti berikut:4 3 52.030.0003 4 71.790.0005 5 42.500.000xyz = Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh matriks X yang entry-entrynya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi, dan biaya makan, kita kalikan matriks A–1 ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh:X = A–1B = 19131323232239133232325573232322.030.0001.790.0002.500.000----×X = 400.00060.00050.000
118Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKHasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp400.000,00; biaya transportasi adalah Rp60.000,00; dan biaya makan adalah Rp50.000,00.3.5.4 Sifat-Sifat Invers MatriksMisalkan matriks A = 2312--det(A) = 2(–2) – 1(–3) = –1A–111det1232 3()121 2Aadj A---===--(A–1)–1 = 11111det232 3()121 2Aadj A----==-- = APerhatikan uraian di atas diperoleh bahwa (A–1)–1 = A.Sifat 3.4Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N, det(A) ≠ 0. Jika A–1adalah invers matriks A, maka (A–1)–1 = A.Perhatikan pertanyaan, apakah (AB)–1 = B–1 × A–1Misalkan matriks A = 2312-- dan B = 2310--.det(A) = 2(–2) – 1(–3) = –1A–111det1232 3()121 2Aadj A---===--det(B) = 0(–2) – 3(–1) = 3B–11112det( )3330103()12adj BB=--==--
119MATEMATIKAA × B = 2 3231 210-- × -- = 1603-det AB = –3 – 0 = –3(AB)–1 = 111det331236()010ABAdj AB---==-(AB)–1 = 12103-B–1A–1 = 1213330 11223120-- - = -- Dari perhitungan di atas diperoleh ABBA()=−−−111.Sifat 3.5Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n ∈ N, det A≠ 0 dan det B ≠ 0. Jika A–1 dan B–1 adalah invers matriks A dan B, maka (AB)–1 = B–1A–1.• Coba kamu diskusikan dengan temanmu satu kelompok, apakah (AB)–1= A–1B–1. Jika tidak, beri alasannya!
120Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 3.21. Tentukan determinan matriks berikut ini. a. 5684- c. 235124323b. 4237xx- d. 4351423242. Selidiki bahwa det.Kn = (det K)n, untuk setiap:a) A = 2314- dengan n = 2 b) A = 2 131245 36-- dengan n = 33. Tentukanlah z yang memenuhi persamaan berikut!570 160 0 21zzz+- = 04. Tentukanlah z yang memenuhi persamaan berikut:zzz5701600210+−=5. Jika P = 131zz-- dan Q = 10 326135zz--- maka tentukan nilai z sehingga determinan P sama dengan determinan Q.
121MATEMATIKA6. Selidiki bahwa det C + D = det C + det D, untuk setiap matriks C dan Dmerupakan matriks persegi.7. Entry baris ke-1 suatu matriks persegi adalah semuanya nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut!8. Periksalah kebenaran setiap pernyataan berikut ini. Berikanlah contoh penyangkal untuk setiap pernyataan yang tidak berlaku!a) det 2A = 2.det Ab) |A| = |A|2c) det I + A = 1 + det AUntuk matriks A merupakan matriks persegi.9. Matriks-matriks P dan Q adalah matriks berordo n × n dengan PQ≠QP. Apakah det PQ = det QP? Jelaskan!10. Diketahui matriks R adalah matriks berordo n × n dengan entry kolom ke-1 semuanya nol. Tentukanlah determinan matriks tersebut. Berikan juga contohnya!11. Diberikan suatu sistem persamaan linear dua variabel.x + y = 32x – y = 0Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi sistem tersebut dengan menggunakan konsep matriks.12. Sebuah toko penjual cat eceran memiliki persediaan tiga jenis cat eksterior yaitu reguler, deluxe, dan commercial. Cat-cat tersebut tersedia dalam empat pilihan warna yaitu: biru, hitam, kuning, dan coklat. Banyak penjualan cat (dalam galon) selama satu minggu dicatat dalam matriks R, sedangkan inventaris toko pada awal minggu dalam matriks S berikut ini.Biru Hitam Kuning Cokelat524131866357RegularRDeluxeCommercial=
122Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKBiru Hitam Kuning Cokelat312010245132RegularSDeluxeCommercial=a. Tentukan inventaris toko pada akhir minggub. Jika toko menerima kiriman stok baru yang dicatat dalam matriks T, tentukan inventaris toko yang baru.13. Tunjukkan bahwa (ABCD)–1 = D–1, C–1, B–1, A–1!14. Adakah suatu matriks yang inversnya adalah diri sendiri?15. Tentukanlah determinan dari matriks:M = 2222 2222 2(1)(2 )(1)(2 )(3)(2)(3)(4)nn nnn nnnn++++++++! D. PenutupSetelah telah selesai membahas materi matriks di atas, ada beberapa hal penting sebagai kesimpulan yang dijadikan pegangan dalam mendalami dan membahas materi lebih lanjut, antara lain: 1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.2. Sebuah matriks A ditransposekan menghasilkan matriks Atdengan entry baris matriks A berubah menjadi entry kolom matriks At. Dengan demikian matriks At ditransposekan kembali, hasilnya menjadi matriks A atau (At)t = A.3. Penjumlahan sebarang matriks dengan matriks identitas penjumlahan hasilnya matriks itu sendiri. Matriks identitas penjumlahan adalah matriks nol.4. Hasil kali sebuah matriks dengan suatu skalar atau suatu bilangan real kakan menghasilkan sebuah matriks baru yang berordo sama dan memiliki entry-entry k kali entry-entry matriks semula.
123MATEMATIKA5. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikali sama dengan banyaknya baris matriks pengalinya.6. Hasil perkalian matriks A dengan matriks identitas perkalian, hasilnya adalah matriks A.7. Hasil kali dua buah matriks menghasilkan sebuah matriks baru, yang entry-entrynya merupakan hasil kali entry baris matriks A dan entry kolom matriks B. Misal jika Ap×q dan Bq×r adalah dua matriks, maka berlaku Ap×q × Bq×r= Cp×r . 8. Matriks yang memiliki invers adalah matriks persegi dengan nilai determinannya tidak nol (0).